Barisan dan Deret

Pernahkah kamu jalan-jalan melewati perumahan? Atau kamu s endiri tinggal di perumahan? Coba perhatikan penomoran rumahnya. Pemberian nomor pada rumah sering kita jumpai adanya nomor ganjil dan nomor genap. Tahukah kamu bilangan ganjil dan bilangan genap? Tuliskanlah. Pada bilangan ganjil dan bilangan genap terdapat pola bilangan. Coba kamu cari sesuatu yang membentuk pola bilangan. Tuliskan dalam buku latihanmu.

Dalam bab ini kita akan mempelajari tentang pola bilangan.

1. Pola Bilangan, Barisan dan Deret

a. Pola bilangan

Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:

a. 1 2 3 …

b. 4 9 16 …

c. 31 40 21 30 16 …

Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang

dipunyai?

Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai

aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2,

bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 + 1 = 3.

Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.

Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2,

mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 2 2 = 4,

bilangan ke 2 = (2 + 1)2 = 3 2 = 9,

bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 4 2 = 16.

Jadi bilangan ke 4 = (4 + 1)2 = 5 2 = 25.

Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3,

mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama – 10 = 31 – 10 = 21,

bilangan ke 4 = bilangan ke 2 – 10 = 40 – 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan ke 3 – 5 = 21 – 5 = 16,.

Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 – 5 = 30 – 5 = 25.

Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan

pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai

contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n

= 1, 2, 3, 4.

Tidak semua pola bilangan dapat dirumuskan secara singkat dengan kata-kata yang langsung memperlihatkan pola yang dimaksud seperti kedua contoh tadi. Misalnya, sungguh sulit kita merumuskan pola bilangan-bilangan 5, 7, 11, 17, 25 secara singkat dengan kata-kata. Oleh karenanya pola bilangan dapat dirumuskan dengan cara-cara lain.

Misalnya:

Bilangan-bilangan 1, 3, 6, 10, … disebut bilangan-bilangan segitiga, karena setiap kali dapat digambarkan dengan bulatan-bulatan yang tersusun dalam pola segitiga.

Gambar 1.1 (buku Smk FC)

Selain itu pola bilangan dapat juga dirumuskan dengan kalimat matematika. Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika dapat ditentukan setelah sekian banyak bilangan berpola sama ditata secara urut.

Rumusan pola bilangan dengan kalimat matematika adalah rumusan yang menyatakan hubungan antara setiap bilangan dengan nomor urutnya.

b. Barisan

Perhatikan bilangan-bilangan yang disusun secara urut berikut ini:

Bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …

Bilangan segitiga: 1, 3, 6, 10, 15, …

Bilangan Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …

Bilangan ganjil, bilangan segitiga dan bilangan Fibonacci yang disusun secara urut merupakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan-bilangan dengan pola yang sama dan tertata secara urut.

Disetiap nomor urut terdapat satu bilangan yang unik. Oleh karena itu, barisan bilangan sering pula disebut sebagai fungsi dengan daerah asal (domain) himpunan bilangan asli yang anggota-anggotanya menyatakan nomor urut suku.

Setiap bilangan dalam sustu barisan bilangan disebut suku dan biasa dilambangkan dengan Un (n menyatakan nomor urut suku). Jadi,

c. Deret

Diketahui barisan bilangan 1, 4, 7, 10, 13, … penjumlahan suku-suku barisan itu, yaitu 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + … disebut deret bilangan.

Bila U₁, U₂, U₃, U4, U5, … disebut barisan bilangan,

maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret bilangan. Nilai deret bilangan hingga n buah suku pertama biasa dilambangkan dengan Sn.

1. Notasi penulisan deret

Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.

1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.

2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.

3.

4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola

dapat dituliskan dengan notasi ” ”(dibaca: sigma).

2.

3. = a

4.

5. =
6. = +

1. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Perhatikan barisan-barisan berikut:

1, 4, 7, 10, … dan

100, 90, 80, 70, …

Barisan pertama dan kedua merupakan barisan aritmatika. Pada setiap barisan bilangan di atas, beda dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan aritmatika jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:

U2 – U1 = U3 – U2 = … = Un – Un-1 = b, dengan b suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan aritmatika adalah suatu barisan bilangan yang suku beriktnya diperoleh dengan menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan yang tetap kepada suku sebelumnya. Bilangan yang tetap itu disebut selisih atau beda. Apabila bedanya positif, maka barisan itu naik. Apabila bedanya negative, maka barisan itu turun.

2. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika.

Jika suku pertama U1, kita misalkan a, beda kita misalkan b, dan suku ke-n kita misalkan Un maka barisan aritmatika ditulis sebagai berikut:

Gambar 1.2 (kelas Ix hal 171)

Rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah

Un = a + (n – 1)b

Sifat-sifat suku ke-n

Un = a + (n – 1) b = a + bn – b = bn + (a – b).

Jadi, suku ke-n suatu barisan aritmatika adalah fungsi linier dari n, dengan n bilangan asli.

3. Menentukan Jumlah n Suku dari Deret Aritmatika

Pada bahasan sebelumnya kamu sudah mempelajari barisan aritmatika. Jika suku-suku barisan aritmatika kita jumlahkan, maka deret tersebut disebut deret aritmatika.

Jika U1, U2, U3, … Un adalah suku-suku barisan aritmatika, maka U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … disebut deret aritmatika.

Jika jumlah n suku pertama deret aritmatika itu kita lambangkan dengan Sn, maka Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 + … Un.

Seorang matematikawan Karl Friedrech Gauss (1777 – 1855) ketika di sekolah dasar, gurunya meminta dia untuk menjumlahkan seratus bilangan asliyang pertama. Gauss memberikan jawaban dalam beberapa detik, dia menjawab sebagai berikut:

S100 = 1 + 2 + 3 + … + 99 + 100

S100 = 100 + 99 + … + 2 + 1

+

2S100 = 1001 + 101 + 101 + … + 101 + 101

2S100 = 100 + 101

Jadi, jumlah seratus bilangana asli yang pertama adalah 5050.

Kita dapat mencari rumus untuk jumlah n suku pertama (Sn), dari deret aritmatika, yaitu:

Atau

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n.

Kemudian urutan suku-suku dijumlahkan dan dibalik sehingga:

S_n = a + (a + b) + (a + 2b) + … + (U_n – 2b) + (U_n – b) + U_n.

S_n = U_n + (U_n – b) + (U_n – 2b) + … + (a + 2b) + (a + b) + (a + 2b) + a

+

2Sn = (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n) + … + (a + U_n) + (a + U_n) + (a + U_n)

Gambar 1.3 hal 174

Penjumlahan n suku, tiap sukunya (a + U_n)

2S_n = n (a + U_n)

S_n =

Jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah

S_n = atau S_n =

Catatan :

U_n = a + (n – 1)b

Sifat-sifat S_n = = =

Jadi, S_n merupakan fungsi kuadrat dari n dengan n bilangan asli.

Contoh 1.1

Tentukan jumlah 25 suku pertama deret 3 + 6 + 9 +….

Penyelesaian:

Deret 3 + 6 + 9 +…. adalah deret aritmatika dengan a = 3 dan b = 3. Oleh

karena itu dengan menggunakan rumus S_n =

diperoleh S₂₅ = [2(3) + (25 -1)(3)]

= [6 + 24(3)]

= (6 + 72)

= 25 (39)

= 975.

Jadi jumlah 25 suku pertama dari deret 3 + 6 + 9 +…. adalah 975.

Contoh 1.2

Tentukan jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100.

Penyelesaian:

Diketahui a = 51, b = 2, dan Un = 99.

Untuk mencari jumlah semua bilangan ganjil di antara 50 dan 100, pertama-tama

kita cari dulu banyaknya bilangan ganjil di antara 50 dan 100, yaitu n

dengan menggunakan rumus:

Un = a + (n – 1) b

99 = 51 + (n – 1)(2)

99 = 51 + 2n – 2

99 = 49 + 2n

2n = 99 – 49

n = 25.

Selanjutnya dengan rumus jumlah n suku pertama suatu barisan aritmatika,

S_n =

diperoleh:

S₂₅ = [2(51) + (25 -1)(2)]

= 25(51 + 24)

= 25(75)

= 1.875.

Jadi jumlah semua bilangan ganjil antara 50 dan 100 adalah 1.875.

Contoh 1.3

Ditentukan deret aritmatika 1 + 4 + 7 + 10 + …

Carilah :

a. rumus suku ke-n,

b. rumus jumlah n suku pertama, dan

c. jumlah 20 suku pertama.

Penyelesaian:

a. Diketahui a = 1, dan b = 3

U_n = a + (n – 1)b

= 1 + (n – 1)3

= 3n – 1

b. Jumlah n suku pertama

S_n =

=

=

c. Jumlah 20 suku pertama

= 600 – 10 = 590

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 590.

Contoh 1.4

Hitunglah jumlah deret aritmatika 3+ 8 + 13 + … + 98

Penyelesaian:

Diketahui n = 3, b = 5 dan U_n = 98

U_n = a + (n – 1)b

98 = 3 + (n – 1)5

98 = 5n – 2

5n – 2 = 98

5n = 100

n = 20

S₂₀ =

S_n =

= 1010

Jadi, S_n adalah 1010

Latihan mandiri 1.1

1. Carilah jumlah 60 suku pertama pada tiap deret berikut!

a. 1 + 3 + 5 + 7 + …

b. 80 + 70 + 60 + …

c. -4 – 5 – 6 -7 …

d. 3,5 + 3,7 + 3,9 + …

e. 3 + 8 + 13 + …

2. Carilah jumlah untuk tiap deret berikut

a. 2 + 4 + 6 + … + 100.

b. 1 + 3 + 5 + … + 21.

c. 15 + 12 + 9 + … – 36.

d. 29 + 33 + 37 + … + 109.

e. 45 +

3. Carilah n jika

a. 1 + 2 + 3 + … + n = 120.

b. 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = 960.

c. 3 + 6 + 9 + … + n = 165.

4. Berapakah banyaknya bilangfan yang menyusun deret 5 + 7 + 9 + … yang jumlahnya 192.

5. hitunglah jumlah semua bilangan asli

a. antara 20 dan 100 yang habis dibagi 3.

b. Antara 52 dan 150 yang habis dibagi 5.

6. Jumlah 9 suku pertama sama dengan 225 dan suku yang ke-7 adalah 38. Carilah suku pertama, kedua, dan suku terakhir.

7. jumlah suku pertama dengan suku ke-13 dari deret aritmatika adalah 44. jumlah suku ke 7 dengan suku ke-10 adalah 50.

a. Carilah suku pertama, beda, dan suku terakhir.

b. Jumlah 25 suku pertama.

1. Barisan dan Deret geometri

1. Pengertian barisan geomatri

Perhatikan contoh barisan geometri berikut

a. 2, 4, 8, 16, … rasionalnya

b. 2, -6, 18, -54, … rasionalnya

c. 320, 80, 20, 5, … rasionalnya

Barisan tersebut merupakan barisan geometri. Pada setiap barisan bilangan di atas, pembanding dua suku yang berurutan selalu tetap (konstan).

Suatu barisan U1, U2, U3, … Un, disebut barisan geometri jika untuk setiap nilai n bilangan asli berlaku:

dengan r suatu tetapan yang tidak bergantung pada n.

Jadi, barisan geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap. Bilangan tetap itu disebut pembanding atau rasio yang dilambangkan dengan huruf r.

Jika > 1, artinya r < -1 atau r > 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin besar. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri naik (contoh a dan b). Jika < 1, artinya -1 < r < 1, maka suku-suku barisan geometri itu semakin kecil. Barisan tersebut dinamakan barisan geometri turun (contoh c dan d).

2. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri

Jika suku pertama U₁, dinyatakan dengan a dan perbandingan dua suku berurutan adalah rasio yang dinyatakan dengan r dan suku ke-n dinyatakan dengan U_n, maka kita dapat merumuskanya dengan:

Dari bentuk di atas, kita peroleh suatu barisan geometri, pada umumnya sebagai berikut,

Gambar 1.4 hal 177

Dari keterangan di atas, dapat kita simpulkan rumus ke-n dari barisan geometri adalah U_n = ar^n-1

Sifat-sifat suku-suku ke-n barisan geometri U_n = ar^n-1 adalah fungsi eksponen dari n.

3. Deret Geometri

Jika a, ar, ar², ar³, … ar^n-1 adalah barisan geometri, maka

a + ar + ar² + ar³ + … ar^n-1 disebut deret geometri.

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Kalau jumlah n suku pertama deret geometri kita lambangkan dengan S_n, maka dapat ditulis:

S_n = a + ar + ar² + ar³ + … ar^n-1

Kita kalikan persamaan di atas dengan r, diperoleh

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

kita kurangkan

S_n = a + ar + ar² + ar³ + … ar^n-1

r S_n = ar + ar² + ar³ + ar⁴ + … ar^n-1 + arⁿ

-

S_n – r S_n = a – arⁿ

(1 – r)S_n = a(1 – rⁿ)

Dengan demikian, jumlah n suku pertama deret geometri dapat ditentukan dengan rumus:

rumus untuk barisan turun atau < 1,

dan rumus untuk barisan naik atau > 1.

Contoh 1.5

Apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan geometri. Jika merupakan

barisan geometri, tentukan rasionya.

a. 2, 4, 8, 16, ….

b. 3, 5, 7, 9,…….

Penyelesaian:

a. 2, 4, 8, 16, …. adalah barisan geometri dengan rasio 2, sebab

b. 3, 5, 7, 9,…. bukan deret geometri, sebab

. Contoh 1.6

Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 + …

Penyelesaian:

4 + 12 + 36 + 108 + …

, S₇ = 4372

Jadi, jumlah 7 suku pertama deret geometri adalah 4372.

Contoh 1.7

Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Penyelesaian:

Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

a = 2 dan r = 3

U_n = ar^n-1

2 . 3^n-1 = 4374

3^n-1 =

3^n-1 = 2187

3^n-1 = 3⁷

n – 1 = 7

n = 8

S₈

=

= 6560

Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri adalah 6560.

Latihan mandiri 1.2

1. Carilah jumlah 8 suku pertama padas setiap deret geometri berikut!
   1. 1 + 2 + 4 + …
   2. 5 + 15 + 45 + …
   3. 
      
   4. 
      
   5. 2 – 6 +18 – …
   6. 
      
   7. 80 + 40 + 20 + …
   8. 
      
2. Carilah jumlah tiap deret geometri berikut!

1. 1. 6 + 12 + 24 + … + 384
   2. 4 + 2 + 1 + … +
   3. 1 – + - … +
2. Carilah n jika:
   1. 2 + 4 + 8 + … + 2ⁿ = 510
   2. + + … +
3. Satuan barisan geometri diketahui U₂ = 6 dan U₆ = 486, carilah rasio, suku pertama dan jumlah 8 suku pertama
4. Suatu barisan geometri diketahui r = 2, n = 8, dan S_n = 1275, carilah nila a.
5. Suatu barisan geometri diketahui a = 5, r = 3, dan S_n = 200. carilah n.

1. Deret Geometri Tak Hingga

Pada deret geometri, untuk n ~ maka deret tersebut dikatakan deret geometri tak berhingga. Jadi,

U₁ + U₂ + U₃ + … U_n , atau jika ditulis dengan notasi adalah
= a + ar + ar² ………………
n=1
dimana n à ~ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ à 0

Deret tersebut akan konvergen (mempunyai jumlah) jika -1 < r < 1, dan mempunyai jumlah :
dengan -1 < r < 1

Bila r tidak terletak pada -1 < r < 1, maka deret tersebut akan divergen (tidak mempunyai jumlah)

Contoh 1.8

Tentukan jumlah deret geometri berikut.

4 + 2 + 1 +

Penyelesaian:

Deret: 4 + 2 + 1 + adalah deret geometri dengan a = 4 dan r = < 1. J umlah deret geometri itu adalah

=

1. Penerapan Konsep Deret Aritmatika dan Deret Geometri untuk Memecahkan Masalah

Untuk menyelesaikan soal-soal cerita terlebih dahulu kita susun ke dalam bentuk barisan bilangan, lalu kita lihat apakah barisan itu termasuk barisan aritmatika atau geometri. Kemudian selesaikan dengan menggunakan rumus yang sesuai.

Untuk itu diingatkan lagi sifat-sifat deret aritmatika maupun geometri.

Deret aritmatika

Un = a + (n – 1)b

S_n =

Deret Geometri

U_n = ar^n-1

untuk < 1 dan untuk > 1.

Contoh 1.9

Dalam suatu gedung pertunjukan terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depanya. Bila dalam gedung itu terdapat sepuluh baris kursi. Tentikanlah:

1. 1. banyaknya kursi pada baris ke-10.
   2. banyaknya kursi dalam gedung itu.

Penyelesain:

a. barisanya adalah 30, 34, 38, 42, … adalah barisan aritmatika

U₁₀ = a + (n – 1)b

= 30 + (10 – 1)4 = 30 + 36 + = 66

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-10 adalah 66 kursi.

b. Kita gunakan rumus deret aritmatika

S₁₀ =

=

Jadi, banyaknya kursi pada gedung itu ada 480 kursi.

Contoh1.10

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun

tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak

Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya

naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada

akhir tahun 2005?

Penyelesaian:

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir

tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.

Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap

akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak

Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari

barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.

P2005 = U6 = a + 5b

= 6.000.000 + 5(500.000)

= 6.000.000 + 2.500.000

= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp 8.500.000,-